Меню
12+

Газета «Учитель Дагестана»

15.02.2019 11:28 Пятница
Если Вы заметили ошибку в тексте, выделите необходимый фрагмент и нажмите Ctrl Enter. Заранее благодарны!
Выпуск 3 от 15.02.2019 г.

Задачи с параметрами в ЕГЭ

Автор: К.Д. Ашурбеков
учитель математики, Республиканский многопрофильный лицей-интернат для одарённых детей, г. Махачкала

При решении многих задач с параметрами сначала нужно привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это возможно, затем необходимо внимательно ещё раз прочитать задание, рассмотреть аналитическое выражение в уравнении или в неравенстве, чтобы выделить ключевую идею автора задачи (если своего решения нет). Решение обычно опирается на свойства функций (ограниченность, монотонность, чётность и нечётность и т.д.), разного рода оценки правой и левой частей неравенства, свойства модулей, геометрические факты.

Если уравнение содержит громоздкие аналитические выражения или неизвестных больше числа уравнений, то их обычно невозможно решить стандартными приёмами и методами. Пугающий «внешний вид» уравнения или неравенства – это сигнал к тому, что нужно искать нестандартные методы. Нестандартные методы – это когда свойства, положения, идеи из смежных разделов математики применяют впервые при решении уравнений и неравенств (одно из определений). При решении задач с параметрами удобно, а часто просто необходимо строить графики. Иногда лучше рассмотреть графики в плоскости (x, a), где x – независимая переменная, а a – параметр.

Если в задаче речь идёт о числе решений, то лучше обратиться к графикам. При решении задач с параметрами желательно заменить одинаковые выражения другой переменной с переходом к области определения новой переменной, сгруппировать и попытаться разложить на множители, заменить уравнение системой (совокупностью) уравнений более простого вида. 

Рассмотрим некоторые задачи с параметрами (№18 профильного уровня) из пособий для подготовки к экзамену по математике в форме ЕГЭ.

Задача 1. Найти все значения параметра k, при каждом из которых

имеет хотя бы одно решение на отрезке .

Решение. Пусть t. Перепишем уравнение в виде 6k+3k = 2. Функция y = 2 возрастает на [0; ] с 0 до 2, а функция y=6k+3k cos t при k на отрезке [0; ] меньше нуля, значит у графиков этих функций нет точек пересечения. При k = 0 имеет решение x = 0. При k > 0 y=6k+ 3k cos t на [0;] убывает и y(0) = 9k, y() = 6k. Графики имеют общую точку, если: k.

При t = из 6k+3k = 2 следует k = . При t = левая часть исходного уравнения не определена, значит k.

Ответ: [0;); (; ].

Задача 2. Найти все значения a, при каждом из которых уравнение не имеет корней.

Решение. Перепишем уравнение в виде

Заметим, что уравнение есть

Функция f(t) = возрастающая. Тогда из f(b)=f(c) следует, что b = c, то есть в нашем случае . Полученное уравнение не имеет корней, если дискриминант меньше нуля т.е. при . Ответ: (.

Задача 3. Найти все положительные значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства состоит из одной точки, и найти это решение.

Решение. Требуется найти одно решение. Поэтому решим уравнение Левая часть определена при любом x и a. Запишем в виде (+

Левая часть есть четная функция относительно x. Если x= — решение, то x= тоже решение, а нам нужно одно решение. Значит x=0 — одно из решений. Подставим и получим По условию а > 0, значит а = 4. В этом случае уравнение может иметь нечетное число решений. Проверка показывает, что при а = 4 каждое неравенство имеет единственное решение x= 0. Ответ: x = 0 при a = 4.

Задача 4.Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке

Решение. Пусть n = , m = . Тогда исходное уравнение перепишется в виде Последнее уравнение имеет решение при Получим Тогда хотя бы один корень на отрезке имеем, если: . Ответ:

Задача 5. Найти все значения параметра a, при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок [2;3].

Решение. Пусть . Тогда b и Эта функция определена и непрерывна при всех Если уравнения y(t) = 3 и y(t) = 2 имеют хотя бы одно решение на отрезке , то y(t) принимает и промежуточные значения. Уравнение y(t) = 2 т.е. имеет хотя бы одно решение на отрезке [-1;1], если y(-1) при любом значении b. Решая неравенство y(-1)Уравнение y(t) = 3 имеет хотя бы одно решение на отрезке [-1;1] , если Здесь опять Из неравенства Пересечение полученных решений есть значения но b Тогда b = 1 или . Ответ: 0.

Замечание. В каждом примере можно выделить ключевую идею решения. В задаче 1 монотонность данных функций, в задаче 2 для монотонной функции

из f(b)=f(c) следует, что b = c, в задаче 3 переход от неравенства к уравнению, в задаче 4 равносильность и

Добавить комментарий

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные и авторизованные пользователи. Комментарий появится после проверки администратором сайта.

6